是。
p=np是数学问题吗1
事实上，现代加密技术依赖于这样一个事实：大质数不可能因式分解。这些问题似乎都有一个共同的难题，也就是P（ polynomial time）对NP（ non-deterministic polynomial time）谜题的核心——什么是可化简的，什么是不可化简的？
1859年，爱尔兰数学家威廉·汉密尔顿画了一个叫做伊科希的数学游戏。这个游戏是在一个由20个角（顶点）组成的木制十二面体表面上进行的。每个角落都标上了一个城市的名字。
游戏的目标是找到一个循环，即访问每个顶点一次，然后返回起点。这种路径称为哈密顿循环。这个简单的博弈产生了图论中的一个重要问题，即哈密顿循环决策问题——给定一个任意地图，我们如何知道它是否包含一个哈密顿循环？
二维平面图形的十二面体。一个可能的哈密顿循环用红色表示。
给出一个图，确定它是否包含一个哈密顿循环。
解决这个问题的一种方法是遍历图中任何可能的路径，并检查该路径是否为哈密顿循环。然而，由于可能路径的数量可以达到n的阶乘。
这样，即使一个只有40个顶点的图也可能包含超过10^45条路径，使得问题几乎不可能在合理的时间内解决(即使对于最强大的处理器也是如此)。
此外，由于顶点数量与路径数量之间的阶乘依赖关系，即使我们再增加一个顶点，也需要大幅提升计算机的'计算能力。我们可以说，阶乘增长的根本性质使这个问题比其他问题更困难。
这就是数学问题的艰巨性——如果一个问题需要的资源随着投入的增加而急剧增加，那么这个问题就非常棘手。
为了使这个想法形式化，计算机科学家使用了时间复杂度的尺度。时间复杂度指的是解决一个问题需要多少步长，以及所需的步长如何随问题的大小而变化。给定一个算法，算法的时间复杂度被描述为一个渐近函数，它依赖于算法的输入大小。
渐进观点是计算复杂性理论所固有的，它揭示了有限而精确的分析所掩盖的结构——阿维·威格森
一个算法的时间复杂度被描述为一个渐近函数，它依赖于算法的输入大小。一个主要的区别是阶乘，指数和多项式复杂度函数。
对于具有多项式复杂度的算法和具有更基本复杂度函数的算法，有一个基本的区别。这种区别主要是由于多项式增长被认为比其他增长更为缓慢，因为增大输入不会导致所需步骤急剧增加。
多项式（Polynom）是一种只涉及加、减、乘和非负整数指数运算的构造，因此不是指数或阶乘增长。选择多项式来表示有效的计算似乎是任意的，然而，随着时间的推移，它从许多角度证明了自己的合理性。
例如，多项式在加法、乘法和组合下的闭包保留了自然编程实践中的效率概念，比如将程序链接到一个序列中，或者将一个程序嵌套到另一个程序中
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具有多项式时间复杂度的算法被称为“高效”。
多年来，为了有效地解决哈密顿循环决策问题，科学家们进行了许多尝试。其中一种是Held-Karp算法，它能在指数时间内解决这个问题。然而，没有已知的算法可以在多项式时间内解决这个问题，因此，它仍然被认为是一个难题。
迈克尔·赫尔德，理查德·史克和理查德·卡普。
然而，一个有趣的现象发生了，尽管我们不能有效地解决这个问题，给定一个路径图中，我们至少可以有效地检查是否是哈密顿循环，因为简单循环中的最大顶点数为n，则遍历路径所需的时间被多项式限定为n。。
这种现象也出现在其他难题中，例如数独决策问题——给定一个不完整的数独网格，我们希望知道它是否至少有一个有效的解决方案。
任何提出的数独解决方案都可以很容易地验证，并且随着网格的增大，检查一个解决方案的时间会多项式的增长。然而，所有已知的寻找解决方案的算法，对于困难的例子，时间会随着网格的增大呈指数增长。
与哈密顿路径决策问题相似，目前还没有任何已知的算法可以有效地解决数独问题，但是，只要给出一个解，就可以有效地验证该解。
似乎许多其他决策问题都具有这一特性——不管它们是否能被有效地解决，它们所提出的解决方案都能被有效地验证。这类问题被定义为NP。
如果一个决策问题的解能被有效地验证，那么这个决策问题就是NP问题。
首字母缩写NP代表不确定性多项式时间（尽管人们普遍认为NP的意思是“非P”）。
进一步思考问题的可解性与其解的可验证性之间的关系，我们可以得出下一个结论：如果一个决策问题是有效可解得，那么它的解必须是有效可验证的。
为什么？因为如果一个决策问题是可以有效地解决的，那就意味着我们可以有效地找到它的解决方案。
然后，给出一个解决方案，我们可以简单地通过与问题的实际解决方案比较来验证它。换句话说，生成解决方案的算法的正确性自动证明了该解决方案。
从这个结论可以看出，很明显，NP包含的问题子集也是有效可解的。这个子集被定义为P。
P是所有可有效解决的`决策问题的集合，是NP的一个子集。基本算法是多项式时间可解的。象棋决策问题不属于NP问题，因为没有一种有效的算法可以检查给定的棋盘是否有效。魔方决策问题属于NP问题，因为判断一个给定的魔方是否是一个解是很简单的。
哈密顿路径决策问题有一个有效的算法可以验证它的解，因此，它属于NP。有人可能会问这个问题是否在P中，一方面，我们不知道有一个有效的算法可以解决这个问题。
另一方面，没有证据表明这样的算法不存在。事实上，这样的算法仍然有可能存在，而且还没有被发现。数独的决策问题也是一样。
事实上，对于许多其他主要问题，包括布尔可满足性问题，旅行推销员问题，子集和问题，派系问题，图着色问题——尽管我们已经证明这些问题是NP，但没有证据表明他们在P 。这就是P=NP问题的意义所在：
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P和NP真的是一样的吗？
如果是的话，这就意味着NP中的所有问题都可以被有效地解决，尽管我们仍然没有找到实现这一点的神秘算法。否则，在NP中存在一些无法有效解决的问题，任何尝试解决将意味着浪费我们的时间和精力。
大多数时候，不能有效地解决问题是一件消极的事情。然而，在某些情况下，我们可以从问题的“硬度”中获益。属于NP而不属于P的问题，其主要特点是很难解决，但很容易验证其解决方案。
给定两个正整数n和k，判断n是否有一个质因数小于k。——质因数分解决策问题
由于该问题的解可以有效地验证，因此我们知道该问题属于NP，给定一个整数c，它需要“多项式时间”来知道c是否是一个比k小的质数，还是n的因数。
但是，目前还没有一种算法可以在多项式时间内解决这一问题。因此，使用两个相当大的质数，就可以计算它们的乘法，这用于生成一个公钥和一个私钥。
公钥可以为所有人所知，并用于加密消息。使用公钥加密的消息只能在合理的时间内使用私钥解密，假设没有有效的方法将一个大整数分解为它的质数因子。
RSA-2048有617位十进制数字(2048位)。它是RSA数字中最大的，因式分解获得的现金奖金最高，为20万美元。除非在不久的将来在整数因子分解或计算能力方面取得重大进展，否则RSA-2048在许多年内可能无法分解。
但是，如果P=NP，则最后一个假设是错误的。为什么？如果P等于NP，那么质因数分解问题在P中，这意味着它可以被有效地解决。
因此，一旦找到这样一个算法，任何公钥都可以在合理的时间内解密，而不需要私钥，这使得整个RSA密码系统完全崩溃，至少在理论上如此。
但是P=NP的负面影响与它所具有的潜在好处相比，是无关紧要的.。在数学、优化、人工智能、生物学、物理学、经济学和工业领域中，确实存在着数以千计的NP问题，这些问题都是出于不同的需要而自然产生的，而有效的解决方案将使我们在许多方面受益。
证明P=NP将意味着所有这些难题都可以在多项式时间内解决，这将导致在那些卓越的算法之后进行大规模的智力追求。一旦发现，这些算法将有可能推动人类的进步，远远超出我们的掌握。
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